断裂构造是矿井中最常见、对生产影响最大的一类地质构造。对矿井、采区以及工作面内的断裂构造进行预测，不仅对保证采掘生产部署、提高采煤机械化程度以及合理开发煤炭资源有着十分重要的意义，而且可以防止和减少受断裂控制的各种地质灾害。
预测就是根据已知区的信息和这种信息中固有的规律来推测未知区的信息。对于矿井而言，已知区就是已进行开拓或回采过的区域，其断裂发育情况是已知的或部分已知的。未知区就是未开拓掘进或没有回采的区域。
分形理论自诞生以来，在众多学科得到了广泛的应用，在地学领域，主要应用于断裂网络复杂程度评价、断裂系特征分析、岩溶和水系分析、构造活动性和煤厚变化规律等，也可用于断裂预测。作者在对徐州矿业集团庞庄煤矿张小楼井的断裂构造进行了分析，发现断裂长度和断距的分布具有分形特征，并尝试应用分形理论进行断裂预测。为了提高预测精度，作者还根据地质构造理论对预测模型提出了修正。
1． 分形和分维
分形（Fractal）一词是法国数学家B.B.Mandelbrot于1976年创造的，意为“不规则的、支离破碎的”。Mandelbrot(1986)将分形定义为[4]：“分形是一种形状，其局部与整体具有某种相似性”。自相似性(self-simirlarity)是分形的一个重要性质，指研究对象的局部与整体在形态，功能和信息等方面具有相似性；或者说局部是整体的缩影。分形理论揭示的部分包含整体信息、部分与整体相似是自然界的普遍规律。目前分形理论从研究不规则的几何实体已拓展到研究不规则的行为“特征”这一广大领域。
具有自相似性的分形也称为线性分形，线性分形分为严格分形和统计分形两种。严格分形是指数学意义上的分形，而地质领域则主要采用统计分形，即具有统计意义上的自相似性的分形，可用统计方法求出。
表征分形的一个重要参数就是分维(fractal dimension)。分维有许多不同的定义，在断裂构造研究中应用最多的是相似维(
)。对于某一具有自相似性的研究对象，若其可以被划分为
个单元，且每一单元按相似比
与整体相似，则定义
2． 矿井地质概况
庞庄煤矿张小楼井位于徐州煤田九里山向斜中段张小楼背斜北翼，F1逆断层将背斜轴部切割，整个井田被若干条大中型断裂切割，构造较为复杂。已揭露的大中型断裂构造共13条，其中正断层8条，逆断层5条。
大中型断裂的走向以北东向为主，少数为北西向。根据矿区构造研究结果，大中型逆断层一般是在燕山早期形成，正断层则多在燕山中晚期盆地伸展过程中形成。
井田内小断裂极为发育，切割2、7、9煤层的小断裂分别为359条、362条和204条，总长度分别为18286米、15865米和10550米。小断裂展布方向具有明显的方向性，以北东30～60°和北西20°为主，也有少量为近南北向。这些小断裂绝大多数为正断层，占断裂总数的93％以上。并且这些小断裂具有倾角大、断距小、延伸短等特点。从其发育特征来看，小断裂明显受大中型断裂的控制。
3． 断裂断距和延伸长度的分形分布
在构造应力场中形成的断裂构造，规模越小，则数量越多，但二者通常并不是呈线性负相关关系，随着断裂规模的减小，断裂数量迅速增加。断裂的规模可用断距和延伸长度表示。对张小楼井2、7、9煤层已采区的断裂构造进行断距和延伸长度统计，其结果见表1和表2（断裂的断距H和延伸长度L的单位均为米）。由于大中型断裂构造是在勘探阶段揭露，分布于整个矿区，而小断裂数据则仅在已掘进的巷道或已回采的工作面中获取，资料的范围不同，因此，除非整个勘探区全部回采完毕，小断裂资料的范围与大中型断裂一致，否则，不应将大中型断裂统计在内。本文中所用的断裂资料中均不包括大中型断裂。
表1 张小楼井小断裂断距统计表
|
煤层 |
断裂条数N |
统计面积 （Km2） |
||||||
|
总计 |
H≥1 |
H≥2 |
H≥3 |
H≥4 |
H≥5 |
H≥6 |
||
|
2煤 |
359 |
219 |
64 |
30 |
14 |
8 |
5 |
1.1824 |
|
7煤 |
361 |
281 |
110 |
53 |
29 |
18 |
12 |
1.4113 |
|
9煤 |
204 |
143 |
51 |
22 |
12 |
7 |
2 |
0.5575 |
注：由于9煤采面相对较少，揭露的H≥6米的断裂条数受采面分布的影响较大，故舍弃。
表2 张小楼井田小断裂延伸长度统计表
|
煤层 |
断裂条数N |
|||||||||
|
L≥20 |
L≥30 |
L≥40 |
L≥50 |
L≥60 |
L≥70 |
L≥80 |
L≥90 |
L≥100 |
L≥110 |
|
|
2煤 |
295 |
199 |
144 |
104 |
79 |
63 |
52 |
45 |
36 |
33 |
|
7煤 |
286 |
201 |
129 |
88 |
66 |
51 |
42 |
32 |
25 |
21 |
|
9煤 |
182 |
115 |
73 |
61 |
46 |
42 |
36 |
34 |
27 |
19 |
图1 断裂断距与频度的关系（横坐标为断距H，单位：米，纵坐 标为断裂条数N）
将小断裂断距H和断裂条数N投到直角坐标系中，作出断距和频度关系的散点图（图1）,从图中可以看出，各煤层中小断裂的断距和频度均不是呈直线关系，而更符合幂函数分布，可用如下的经验公式表示：
N = A×H－D （公式1）
或者
Ln N ＝K － D×Ln H （公式2）
式中： N——断裂条数
H——断裂断距
D——分维值
K、A——常数
也就是说，如果把断裂断距和条数投到双对数坐标系中，所得到的点应近似沿一条直线分布（图2）。分形理论中的一个经典例子就是对海岸线的测量，即随着所用的码尺（r）的减小，所测得的海岸线长度（L）增加，二者的关系为
L = A×r－D （公式3）
其中D为海岸线的分维值。公式1和2表明，断裂断距的分布具有分形特征，D即为这种分布的分维值（相似维）。与求测海岸线分维值一样，由于是统计意义上的自相似，可用回归分析的方法求出。在双对数坐标系中，回归直线斜率的绝对值即为所要求测的分维值。
图2 断裂断距与频度的关系（对数坐标，横坐标为断距H，纵坐标为频度N）
小断裂的延伸长度也具有分形分布的特点（图3），用同样的方法可求出其分维值。
图3 断裂延伸长度与频度的关系（对数坐标，横坐标为断裂长度L，纵坐标为频度N）
经过计算，求出了各煤层中小断裂断距及延伸长度分布的分维值和相关参数，从而得到小断裂的断距（H）与频度（N）、延伸长度（L）与频度关系的经验预测公式（表3）。
由于各预测公式是根据小断裂资料得出的，有一定的适用范围，不能任意外推到大中型断裂或节理。根据统计资料分析，对于断距为1～8米、延伸长度为20～120米的断裂进行预测可靠性较高。
表3 分维值求测结果与经验预测公式（统计面积单位：Km2）
|
煤层 |
断距分维值 |
预测公式 |
长度分 维值 |
预测公式 |
|
2煤 |
2.1088 |
N=250.95×H-2.1088 |
1.3317 |
N=17884.8×L-1.3317 |
|
7煤 |
1.7695 |
N=324.50×H-1.7695 |
1.5760 |
N=39167.6×L-1.5760 |
|
9煤 |
1.8700 |
N=159.79×H-1.8700 |
1.2140 |
N=6953.24×L-1.2140 |
4． 预测实例
表3中的断裂条数预测公式是针对相应的统计面积（S）而言，而对于某个具体的面积为S’的工作面，其断裂条数N’的预测公式为：
N’＝N×S’/S （公式4）
例如，要预测9煤912工作面内断距大于等于2米的断裂条数，可先用表3中9煤断裂条数的预测公式求出N＝159.79×2-1.8700 ＝43.71条，然后把S＝0.5575、S’（912工作面面积）＝0.0272代入公式4，即可求出N’＝43.71×0.0272/0.5755＝2.13条。
由于2煤和7煤大部分已回采完毕，而9煤仅回采了6个工作面，因此对9煤进行预测更有实际意义。当断裂断距在2米以上时，对生产的影响尤为突出。现将9煤已采各面的预测及实际值列表如下：
从表4中可以看出，各工作面的断裂条数预测误差均在30％以下，但多大于20％。造成误差的主要原因在于预测过程中假定断裂是均匀分布的（先求出统计面积内断裂总条数，再按工作面面积平均分配），而实际上断裂的分布并不总是均匀的，一般具有分区性和成带性的特点[1]，因此有必要对预测结果进行修正。
表4 9煤已采工作面断距≥2米的断裂条数预测值与实际值对比
|
工作面名称 |
904 |
908 |
910 |
912 |
916 |
953 |
|
工作面面积 |
0.0300 |
0.0164 |
0.0312 |
0.0272 |
0.0546 |
0.0814 |
|
实际条数 |
2 |
1 |
2 |
3 |
6 |
8 |
|
预测条数 |
2.35 |
1.29 |
2.47 |
2.13 |
4.28 |
6.38 |
|
误差条数 |
0.35 |
0.29 |
0.47 |
－0.87 |
－1.72 |
－1.62 |
|
误差百分比 |
18％ |
29％ |
24％ |
29％ |
29％ |
20％ |
5． 预测结果的修正
首先，必须对井田内断裂构造发育的规律进行研究，分析断裂的展布特征是否具有成带性、对称性、等距性、递变性、分区性等特征，以确定断裂的分布是否均匀。如果断裂发育不均匀，就要对预测值进行修正。一种简单的办法是求出研究区内勘探阶段断裂的平均密度（面密度）和预测块段所在分区的断裂密度，后者除以前者得到修正系数。更为精确的方法是用断裂网络的分维值进行修正。根据以往的研究，断裂网络的分维值是评价断裂复杂程度的综合性指标[2,3]，具有其它指标无法比拟的优越性。用预测区的分维值除以整个研究区的平均分维值即可得到修正系数。在求出修正系数后，用原来的预测值乘以修正系数，乘积即为修正后的预测值。
在1：2000的矿井构造图上，把断裂网络划分为10cm×10cm的网格，并用网格覆盖法求出各网格中的信息维[2]。所划分的网格中，信息维的最大值为1.34，最小值为0.83，平均值为1.18。用工作面中所包含的各网格信息维的平均值作为该工作面中断裂网络的信息维，除以所有网格信息维的平均值（1.18），得到各工作面的断裂条数修正系数，结果见表5。
表5 修正后的断裂条数预测值与实际值对比
|
工作面名称 |
904 |
908 |
910 |
912 |
916 |
953 |
|
断裂网络信息维 |
1.03 |
1.12 |
1.09 |
1.25 |
1.32 |
1.28 |
|
修正系数 |
0.87 |
0.95 |
0.92 |
1.06 |
1.12 |
1.08 |
|
修正后预测条数 |
2.04 |
1.23 |
2.27 |
2.26 |
4.79 |
6.89 |
|
误差百分比 |
2％ |
23％ |
14％ |
25％ |
20％ |
14％ |
从表5可以看出，修正后的预测条数与实际值更为接近，各工作面的预测条数误差均有不同程度的减小。由于分维值与断层条数之间并不是呈线性关系，这种乘以系数修正方法取得的效果并不十分明显。理论上讲修正系数应当放在指数上，由于作者还没有找到合适的指数修正公式，暂时用简单的乘以系数的方法进行修正，虽不十分理想，但与不加修正的预测结果相比，已经提高了预测的精度。
6．小结
矿井断裂构造的断距、延伸长度与其频度均呈分形分布，籍此可以得出断裂断距、长度与条数的关系，从而达到断裂构造预测的目的。在断裂的空间分布均匀的情况下，可以直接用得到的经验公式进行预测；如果断裂分布不均匀，可以根据断裂构造发育规律，用断裂网络分维值加以修正，以提高预测精度。
参 考 文 献
[1] 徐志斌, 王继尧, 张大顺, 谢和平, 煤矿断层网络复杂程度的分维描述. 煤炭学报, 1996(4): 358~363
[2] 徐志斌, 谢和平, 王继尧, 分维－评价矿井断裂复杂程度的综合性指标. 中国矿业大学学报, 1996(3): 11~15
[3] 王国华，王猛，崔新瑞，分形研究在唐山煤矿铁三、铁四区构造预测中的应用. 中国煤田地质 2006(3)
[4] 林伟义，矿井地质构造预测的几种现场技术剖析. 能源与环境， 2011年(1)
[5] 温建忠，成飞，大雁二矿五采区构造分析及构造预测. 西部探矿工程 2011(4)
